Aplikasi Turunan III

 

Penggunaan Konsep Turunan dalam Menggambar Kurva Polinom

Grafik fungsi merupakan gambaran geometri dari sebuah fungsi. Adanya grafik ini, memudahkan dalam menganalisis nilai fungsi, jenis fungsi, dan sebagainya. Untuk fungsi polinom berderajat 1 (fungsi linear) dan fungsi polinom berderajat 2 (fungsi kuadrat), cara menggambarnya tidak terlalu rumit, bisa hanya dengan beberapa langkah. Tetapi untuk menggambar fungsi polinom berderajat lebih dari 2, membutuhkan bantuan konsep turunan.

Konsep turunan yang dipakai dalam membantu menggambar fungsi polinom ini adalah mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik ekstrim, dan jenis ekstrim. Berikut ini selengkapnya pembahasan mengenai langkah-langkah menggambar grafik fungsi dengan bantuan konsep turunan.

Langkah 1: Cari titik-titik penting berupa titik potong terhadap sumbu X, titik potong terhadap sumbu Y, titik ekstrim, dan jenis titik ekstrimnya.

1. Titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinat.
   • Titik potong dengan sumbu X didapat jika y = 0.
   • Titik potong dengan sumbu Y didapat jika x = 0.
2. Cari turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f, yaitu f'(x) dan f"(x).
   Dari turunan pertama dapat diperoleh:
   • interval fungsi naik dan fungsi turun,
   • titik ekstrim fungsi f.
   Dari turunan kedua dapat diperoleh:
   • interval fungsi cekung ke atas dan fungsi cekung ke bawah,
   • titik belok fungsi.

Langkah 2, Gambarkan titik-titik yang didapat dari langkah 1 pada koordinat kartesius.

Langkah 3, Hubungkan titik-titik yang sudah digambar di koordinat kartesius dengan kurva halus dengan memperhatikan kapan kurva naik dan turun, kapan cekung ke atas, dan kapan kurva cekung ke bawah.

Contoh Soal
Gambarlah sketsa kurva y=f(x)=4x³-8x²-3x+9.

Jawaban
Untuk menyelesaikannya, mari kita gunakan langkah-langkah yang telah dibahas di atas.

Langkah 1
Titik potong dengan sumbu Y, didapat jika x = 0. y=f(0)=4(0)³-8(0)²-3(0)+9=9 Titik potongnya (0,9)

Titik potong dengan sumbu X, didapat jika y = 0.
Berarti, 4x³-8x²-3x+9=0.

Untuk mendapatkan nilai x, gunakan teorema faktor yang telah dipelajari pada pokok bahasan polinom/suku banyak. Akan didapat x = -1 atau x = 1,5.

Cari turunan pertama dan kedua.
f'(x)=12x²-16x-3
f''(x)=24x-16

Fungsi naik, fungsi turun, dan titik ekstrim.
Fungsi f naik jika f'(x) > 0
12x² - 16x - 3 > 0
(2x-3)(6x+1) > 0
x < -1/6 atau x > 1,5

Fungsi f turun jika f'(x) < 0
12x² - 16x - 3 < 0
(2x-3)(6x+1) < 0
-1/6 < x < 1,5

Titik ekstrim diperoleh jika f'(x) = 0
12x² - 16x - 3 = 0
(2x-3)(6x+1) = 0
x = -1/6 atau x = 1,5

x = -1/6 dalam bentuk desimal bisa ditulis sebagai x = -0,17

Jenis stasioner dapat diperoleh dengan substitusi x ketika f'(x) = 0 ke f"(x).
f"(-1/6) = 24(-1/6) - 16 = -20 < 0
menurut uji turunan kedua, x = -1/6 mempunyai nilai balik maksimum. Nilai balik maksimumnya diperoleh dengan substitusi nilai x ke fungsi awal
f(-1/6) = 9 7/27 = 9,26

f"(1,5) = 24(1,5) - 16 = 20 > 0
menurut uji turunan kedua, x = 1,5 mempunya nilai balik minimum. Nilai balik minimumnya diperoleh dengan substitusi nilai x ke fungsi awal
f(1,5) = 0

Kecekungan fungsi dan titik belok fungsi.
Fungsi f cekung ke atas jika f"(x) > 0
24x - 16 > 0
24x > 16
x > 2/3

Fungsi f cekung ke bawah jika f"(x) < 0
24x - 16 < 0
24x < 16
x < 2/3

Titik belok fungsi f diperoleh jika f"(x) = 0
24x - 16 = 0
24x = 16
x = 2/3
f(2/3)=4 17/27
Titik beloknya (2/3,4 17/27)

Langkah 2
Gambarkan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 pada koordinat kartesius. Titik-titik tersebut adalah sebagai berikut.
(0,9), (-1,0), (1,5;0), (-1/6,9 7/27), dan (2/3,4 17/27)

Langkah 3
Hubungkan titik-titik yang telah diletakan pada koordinat kartesius oleh kurva halus dengan memperhatikan naik-turun dan kecekungannya, sehingga diperoleh grafik sebagai berikut.

Aplikasi turunan II

 

Aplikasi Turunan: 

Maksimum dan Minimum Lokal

Nilai maksimum global merupakan yang terbesar di antara nilai-nilai maksimum lokal. Demikian pula nilai minimum global adalah yang terkecil di antara nilai-nilai minimum lokal.

ari pembahasan mengenai nilai maksimum dan minimum pada tulisan sebelumnya, kita tahu bahwa nilai maksimum (jika ada) suatu fungsi $f$ pada himpunan $S$ adalah nilai $f$ terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan $S$. Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global, atau nilai maksimum absolut dari $f$.

Jadi, untuk fungsi $f$ dengan daerah asal $S=[a,b]$ yang grafiknya diberikan dalam Gambar 1, $f\left(a\right)$ adalah nilai maksimum global.

Gambar 1

Akan tetapi, bagaimana dengan $f\left(c\right)$? Mungkin saja ia bukan raja dari negara, tetapi paling tidak ia adalah kepala dari lingkungan sekitarnya. Kita sebut $f\left(c\right)$ suatu nilai maksimum lokal, atau nilai maksimum relatif. Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksimum lokal. Gambar 2 melukiskan sejumlah kemungkinan.

Gambar 2

Perhatikan bahwa nilai maksimum global (jika ada) merupakan yang terbesar di antara nilai-nilai maksimum lokal. Demikian pula nilai minimum global adalah yang terkecil di antara nilai-nilai minimum lokal.

Berikut definisi formal dari maksimum dan minimum lokal. Ingat kembali bahwa lamba $\cap$ menyatakan irisan (bagian bersama) dari dua himpunan.

Definisi: Maksimum dan Minimum Lokal

Andaikan $S$, daerah asal $f$, memuat titik $c$. Kita katakan bahwa

1. $f\left(c\right)$ nilai maksimum lokal $f$ jika terdapat selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sedemikian sehingga $f\left(c\right)$ adalah nilai maksimum $f$ pada $(a,b)\cap S$;
2. $f\left(c\right)$ nilai minimum lokal $f$ jika terdapat selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sedemikian sehingga $f\left(c\right)$ adalah nilai minimum $f$ pada $(a,b)\cap S$;
3. $f\left(c\right)$ adalah nilai ekstrim lokal $f$ jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Aplikasi Turunan I

 

Materi Aplikasi Turunan

Mengutip buku Matematika terbitan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, aplikasi turunan fungsi biasa digunakan untuk memecahkan permasalahan interval fungsi naik/turun, nilai maksimum atau minimum fungsi, serta kecepatan dan percepatan.

1. Menentukan Interval Fungsi Naik/Turun

Setiap gedung pastinya memiliki lift atau eskalator untuk memudahkan kita. Gerakan pada lift atau eskalator tersebut bisa kita gambarkan sebagai fungsi naik dan turun.

Gerakan eskalator atau lift dapat kita ilustrasikan seperti gambar grafik di bawah ini:

Pada keempat gambar di atas, kita dapat mendefinisikan maksud dari fungsi naik dan turun ke aplikasi turunan, yaitu:

Pada fungsi f : S, jika S adalah bilangan real, maka:

fungsi f dikatakan naik jika ∀ x1, x2 ∈ S, x1 < x2 --> f(x1) < f(x2)

fungsi f dikatakan turun jika ∀ x1, x2 ∈ S, x1 < x2 --> f(x1) > f(x2)

Jika suatu grafik fungsi memenuhi salah satu dari definisi di atas, maka dapat dikatakan jika fungsi pada grafik tersebut adalah fungsi naik dan turun.

2. Menentukan Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi

Setelah memahami konsep aplikasi turunan pada fungsi naik dan turun, maka kita akan mempelajari aplikasi turunan nilai maksimum dan minimum.

Ada seorang anak yang sedang menarik sebuah tali, lalu membuat tali menjadi bergelombang dengan cara menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah.

Tali tersebut akan terlihat memiliki puncak maksimum dan minimum. Konsep nilai maksimum dan minimum di sini adalah gradien garis singgung.

Gradien garis singgung pada tali tersebut merupakan tangen sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya. Contohnya bisa dilihat melalui gambar berikut:

Pada grafik tersebut, terdapat garis singgung dengan gradien nol (PGS 1, PGS 2, PGS 3, dan PGS 4) merupakan garis horizontal y = c, di mana c adalah konstan.

Seluruh garis singgung tersebut menyinggung kurva pada titik puncak dengan absis x = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4. Sehingga, menghasilkan turunan f'(x1) = 0, f'(x2) = 0, f'(x3) = 0, dan f'(x4) = 0.

Maka, kesimpulannya adalah suatu fungsi akan mencapai titik maksimum atau minimum ketika m = f'(x) = 0. Titik tersebut disebut dengan titik stasioner.

3. Menentukan Kecepatan dan Percepatan

Ringkasan aplikasi turunan juga dapat digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan dalam Fisika. Di mana, rumus kecepatan dan percepatan menggunakan turunan yang dapat ditulis sebagai berikut:

Perbesa

Itulah beberapa aplikasi turunan yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan sehari-hari.