Aplikasi turunan II

 

Aplikasi Turunan: 

Maksimum dan Minimum Lokal

Nilai maksimum global merupakan yang terbesar di antara nilai-nilai maksimum lokal. Demikian pula nilai minimum global adalah yang terkecil di antara nilai-nilai minimum lokal.

ari pembahasan mengenai nilai maksimum dan minimum pada tulisan sebelumnya, kita tahu bahwa nilai maksimum (jika ada) suatu fungsi $f$ pada himpunan $S$ adalah nilai $f$ terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan $S$. Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global, atau nilai maksimum absolut dari $f$.

Jadi, untuk fungsi $f$ dengan daerah asal $S=[a,b]$ yang grafiknya diberikan dalam Gambar 1, $f\left(a\right)$ adalah nilai maksimum global.

Gambar 1

Akan tetapi, bagaimana dengan $f\left(c\right)$? Mungkin saja ia bukan raja dari negara, tetapi paling tidak ia adalah kepala dari lingkungan sekitarnya. Kita sebut $f\left(c\right)$ suatu nilai maksimum lokal, atau nilai maksimum relatif. Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksimum lokal. Gambar 2 melukiskan sejumlah kemungkinan.

Gambar 2

Perhatikan bahwa nilai maksimum global (jika ada) merupakan yang terbesar di antara nilai-nilai maksimum lokal. Demikian pula nilai minimum global adalah yang terkecil di antara nilai-nilai minimum lokal.

Berikut definisi formal dari maksimum dan minimum lokal. Ingat kembali bahwa lamba $\cap$ menyatakan irisan (bagian bersama) dari dua himpunan.

Definisi: Maksimum dan Minimum Lokal

Andaikan $S$, daerah asal $f$, memuat titik $c$. Kita katakan bahwa

1. $f\left(c\right)$ nilai maksimum lokal $f$ jika terdapat selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sedemikian sehingga $f\left(c\right)$ adalah nilai maksimum $f$ pada $(a,b)\cap S$;
2. $f\left(c\right)$ nilai minimum lokal $f$ jika terdapat selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sedemikian sehingga $f\left(c\right)$ adalah nilai minimum $f$ pada $(a,b)\cap S$;
3. $f\left(c\right)$ adalah nilai ekstrim lokal $f$ jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal