TURUNAN PART III

Aturan Rantai

Aturan rantai (chain rule) menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f′(g(x))⋅g′(x). Dengan kata lain, aturan rantai digunakan untuk mencari turunan komposisi dua fungsi atau lebih.

turan rantai memungkinkan kita untuk mencari turunan komposisi dua fungsi atau lebih. Komposisi fungsi yang biasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.

Sebagai contoh, bayangkan usaha untuk mencari turunan dari fungsi berikut:

Tanpa aturan rantai, pertama anda harus mengalikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat $2x^2-4x+1$ dan kemudian mendiferensialkan atau menurunkan polinom (suku banyak) berderajat 120 yang dihasilkan.

Tentu saja kita tidak perlu melakukan itu, karena terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari aturan rantai ini, anda akan mampu menuliskan jawabannya dengan cepat berikut ini.

TEOREMA A: Aturan Rantai

Andaikan $y=f\left(u\right)$ dan $u=g\left(x\right)$. Jika $g$ terdiferensialkan di $x$ dan $f$ terdiferensialkan di $u=g\left(x\right)$, maka fungsi komposit $fog$, didefinisikan oleh $\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$, terdiferensialkan di $x$ dan

Yakni,

atau dapat dituliskan juga sebagai

CONTOH 1:

Perhatikan kembali fungsi $(2x^2-4x+1{)}^{60}$ yang diperkenalkan pada bagian awal di atas. Carilah $D_{x}y$.

Penyelesaian:

Kita pikirkan ini sebagai

Fungsi yang luar adalah $f\left(u\right)=u^{60}$ dan fungsi dalamnya adalah $u=g\left(x\right)=2x^2-4x+1$. Dengan demikian,

Turunan PART 2

 Aturan Pencarian Turunan

Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan selain memakan waktu juga membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan, yakni dengan menyusun hasilbagi selisih

dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini sehingga memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.

Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain $f^{\prime }$. Misalnya, jika $f\left(x\right)=x^2$ adalah rumus untuk $f$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ adalah rumus untuk $f^{\prime }$. Pengambilan turunan dari $f$ (pendiferensialan $f$) adalah pengoperasian pada $f$ untuk menghasilkan $f^{\prime }$.

Sering kali kita memakai huruf $D$ untuk menunjukkan operasi ini. Jadi kita menuliskan $D_f=f^{\prime }$, $D_f\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)$, atau (dalam contoh yang disebutkan di atas) $D\left(x^2\right)=2x$. Semua teorema di bawah dinyatakan dalam cara penulisan fungsional dan dalam cara penulisan operator $D$.

Turunan trigonometri

Pengertian Turunan Trigonometri

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Rumus Turunan Trigonometri

Pada dasarnya turunan trigonometri mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya mempunyai turunan(dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f'(x) = cos x dan turunan cos x adalah g'(x) =sec2x. Hal itu dapat dibuktikan dengan rumus f ‘(x) = limh→0fx+h-f(x)h, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri.

1. Turunan f(x) = sin x

Diketahui f (x) = sin x

f ‘(x)      = limh→0fx+h-f(x)h

= limh→0sinx+h-sin(x)h

= limh→02cos122x+hsin12(h)h

= limh→0cos(x + 12h) . limh→0sin12 h(12h)

= cosx.1

= cosx

Jadi ddx (sin x) = cosx

---

2. Turunan f(x) = tan x

Diketahui, f (x) = tan x = sinxcosx

g(x)    = sin x g'(x) = cos x

h(x)    = cos x h'(x) = -sinx

f ‘(x)   =hxg’x- g(x)h'(x) [h(x)]2

= cos xcos x- sin x.(-sinx)[cos x]2

= cos2x+ sin2cos2x

=1cos2x=sec2x

Jadi ddx(tanx) = sec2x

Dengan jalan yang sama dapat dicari turunan cot x, sec x, cosec x.