Turunan PART 2

 Aturan Pencarian Turunan

Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan selain memakan waktu juga membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan, yakni dengan menyusun hasilbagi selisih

dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini sehingga memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.

Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain $f^{\prime }$. Misalnya, jika $f\left(x\right)=x^2$ adalah rumus untuk $f$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ adalah rumus untuk $f^{\prime }$. Pengambilan turunan dari $f$ (pendiferensialan $f$) adalah pengoperasian pada $f$ untuk menghasilkan $f^{\prime }$.

Sering kali kita memakai huruf $D$ untuk menunjukkan operasi ini. Jadi kita menuliskan $D_f=f^{\prime }$, $D_f\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)$, atau (dalam contoh yang disebutkan di atas) $D\left(x^2\right)=2x$. Semua teorema di bawah dinyatakan dalam cara penulisan fungsional dan dalam cara penulisan operator $D$.

Turunan trigonometri

Pengertian Turunan Trigonometri

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Rumus Turunan Trigonometri

Pada dasarnya turunan trigonometri mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya mempunyai turunan(dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f'(x) = cos x dan turunan cos x adalah g'(x) =sec2x. Hal itu dapat dibuktikan dengan rumus f ‘(x) = limh→0fx+h-f(x)h, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri.

1. Turunan f(x) = sin x

Diketahui f (x) = sin x

f ‘(x)      = limh→0fx+h-f(x)h

= limh→0sinx+h-sin(x)h

= limh→02cos122x+hsin12(h)h

= limh→0cos(x + 12h) . limh→0sin12 h(12h)

= cosx.1

= cosx

Jadi ddx (sin x) = cosx

---

2. Turunan f(x) = tan x

Diketahui, f (x) = tan x = sinxcosx

g(x)    = sin x g'(x) = cos x

h(x)    = cos x h'(x) = -sinx

f ‘(x)   =hxg’x- g(x)h'(x) [h(x)]2

= cos xcos x- sin x.(-sinx)[cos x]2

= cos2x+ sin2cos2x

=1cos2x=sec2x

Jadi ddx(tanx) = sec2x

Dengan jalan yang sama dapat dicari turunan cot x, sec x, cosec x.

Turunan PART 1, Turunan Sepihak

 

ALGORITMA BRANCH and BOUND

Nama       : Rama Suherman

NPM        : 19312152

Kelas        : IF20B

Implementasi Algoritma Branch and Bound

 

Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound adalah sebuah teknik algoritma yang secara khusus mempelajari bagaimana caranya memperkecil Search Tree menjadi sekecil mungkin.

 

  Sesuai dengan namanya, metode ini terdiri dari 2 langkah yaitu :

1.         Branch artinya membangun semua cabang tree yang mungkin menuju solusi.

 

2.     Bound artinya menghitung node mana yang merupakan active node (E-node) dan node mana yang merupakan dead node (D-node) dengan menggunakan syarat batas constraint (kendala).

 

Teknik Branch and Bound

Berikut adalah teknik dalam Branch and Bound yaitu :

 

1.     FIFO Branch and Bound

adalah teknik Branch and Bound yang menggunakan bantuan queue untuk perhitungan Branch  and Bound secara First In First Out.

 

2.     LIFO Branch and Bound

adalah teknik Branch and Bound yang menggunakan bantuan stack untuk perhitungan Branch and Bound secara Last In First Out.

 

3.     Least Cost Branch and Bound

teknik ini akan menghitung cost setiap node. Node yang memiliki cost paling kecil dikatakan memiliki kemungkinan paling besar menuju solusi.

Knapsack Problem Branch and Bound

Knapsack problem adalah suatu masalah bagaimana cara menentukan pemilihan barang dari sekumpulan barang dimana setiap barang tersebut mempunyai berat dan profit masing masing, sehingga dari pemilihan barang tersebut didapatkan profit yang maksimum. Penyelesaian masalah dengan menggunakan algoritma exhaustive search adalah mengenumerasikan semua kemungkinan barang-barang yang layak atau memenuhi syarat yaitu tidak melebihi batas daya angkut gerobak untuk dijual setiap harinya , kemudian menghitung tiap-tiap keuntungan yang diperoleh dan memilih solusi yang menghasilkan keuntungan terbesar.

Berbeda dengan algoritma exhaustive search yang cukup memakan waktu dan dapat menghasilkan solusi yang optimum, penyelesaian masalah dengan menggunakan algoritma greedy dilakukan dengan memasukan objek satu persatu kedalam gerobak dan tiap kali objek tersebut telah dimasukan kedalam gerobak maka objek tersebut tidak dapat lagi dikeluarkan dari gerobak. Pencarian solusi akan dilakukan dengan memilih salah satu jenis greedy (greedy by weight, greedy by profiit or greedy by density) yang diperkirakan dapat menghasilkan solusi yang optimum. Algoritma Branch and Bound juga merupakan salah satu strategi yang dapat digunakan dalam pencarian solusi optimum dari permasalahan knapsack ini.

 

Algoritma Branch and Bound

Sebagaimana pada algortima runut-balik, algoritma Branch & Bound juga merupakan metode pencarian di dalam ruang solusi secara sistematis. Ruang Solusi diorganisasikan ke dalam pohon ruang status. Pembentukan pohon ruang status. Pembentukan pohon ruang status pada algoritma B&B berbeda dengan pembentukan pohon pada algoritma runutbalik. Bila pada algoritma runut-balik ruang solusi dibangun secara Depth-First Search(DFS), maka pada algoritma B&B ruang solusi dibangun dengan skema Breadth-First Search (BFS).

Pada algoritma B&B, pencarian ke simpul solusi dapat dipercepat dengan memilih simpul hidup berdasarkan nilai ongkos (cost). Setiap simpul hidup diasosiasikan dengan sebuah ongkos yang menyatakan nilai batas (bound). Pada prakteknya, nilai batas untuk setiap simpul umumnya berupa taksiran atau perkiraan. Fungsi heuristik untuk menghitung taksiran nilai tersebut dinyatakan secara umum sebagai :

(i) = (i) + (i)

yang dalam hal ini,

(i) = ongkos untuk simpul i

(i) = ongkos mencapai simpul i dari akar

(i) = ongkos mencapai simpul tujuan dari simpul akar i (perkiraan)

Nilai digunakan untuk mengurutkan pencarian. Simpul berikutnya yang dipilih untuk diekspansi adalah simpul yang memiliki  minimum (Simpul-E). Strategi memilih simpul-E seperti ini dinamakan strategi pencarian berdasarkan biaya terkecil (least cost search).

Prinsip Algoritma Branch and Bound

1.  Masukkan simpul akar ke dalam antrian Q. Jika simpul akar adalah simpul solusi (goal node), maka solusi telah ditemukan. Stop.

 

2.     Jika Q kosong, tidak ada solusi . Stop.

 

3.   Jika Q tidak kosong, pilih dari antrian Q simpul i yang mempunyai (i) paling kecil. Jika terdapatbeberapa simpul i yang memenuhi, pilih satusecara sembarang.

 

4.    Jika simpul i adalah simpul solusi, berarti solusi sudah ditemukan, stop. Jika simpul i bukan simpul solusi, maka bangkitkan semua anak-anaknya. Jika i tidak mempunyai anak, kembali ke langkah 2.

 

5.    Untuk setiap anak j dari simpul i, hitung  (j), dan masukkan semua anak-anak tersebut ke dalam antrian Q.

 

6.     Kembali ke langkah 2.

 

 

Jangan Lupa Kunjungi Link di Bawah ini J

https://www.teknokrat.ac.id/

http://ti.ftik.teknokrat.ac.id

http://ftik.teknokrat.ac.id

Limit Fungsi

 

Implementasi Algoritma Divide And Conquer Pada Sorting Dan Searching

Nama : Rama Suherman

Npm   : 19312152

Kelas  : IF 20B

Implementasi Algoritma Divide And Conquer Pada Sorting Dan Searching 

1.   Implementasi Algoritma Divide and Conquer Merge sort

Beberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan. Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah, kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan utama.

Pada setiap tingkatan rekursi, pola tersebut terdiri atas 3 langkah.

1. Divide

    Memilah masalah menjadi sub masalah

2. Conquer

    Selesaikan sub masalah tersebut secara rekursif. Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana, pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif

3. Kombinasi

    Mengkombinasikan solusi dari sub-masalah, yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, Merge sort menggunakan pola divide and conquer. Dengan hal ini deskripsi dari algoritma dirumuskan dalam 3 langkahberpola divide-and-conquer. Berikut menjelaskan langkah kerja dari Merge sort.

1. Divide

    Memilah elemen – elemen dari rangkaian data menjadi dua bagian.

2. Conquer

    Conquer setiap bagian dengan memanggil prosedur merge sort secara rekursif

3. Kombinasi

    Mengkombinasikan dua bagian tersebut secara rekursif untuk mendapatkan rangkaian data berurutan

Proses rekursi berhenti jika mencapai elemen dasar. Hal ini terjadi bilamana bagian yang akan diurutkan menyisakan tepat satu elemen. Sisa pengurutan satu elemen tersebut menandakan bahwa bagian tersebut telah terurut sesuai rangkaian.

2.  Implementasi Algoritma Divide and Conquer Quick Sort

Quicksort ditemukan oleh C.A.R Hoare. Seperti pada merge sort, algoritma ini juga berdasar pada pola divide-and-conquer. Berbeda dengan merge sort, algoritma ini hanya mengikuti langkah – langkah sebagai berikut :

1. Divide

Memilah rangkaian data menjadi dua sub-rangkaian A[p…q-1] dan A[q+1…r] dimana setiap elemen A[p…q-1] adalah kurang dari atau sama dengan A[q] dan setiap elemen pada A[q+1…r] adalah lebih besar atau sama dengan elemen pada A[q]. A[q] disebut sebagai elemen pivot. Perhitungan pada elemen q merupakan salah satu bagian dari prosedur pemisahan.

2. Conquer

Mengurutkan elemen pada sub-rangkaian secara rekursif

Pada algoritma quicksort, langkah “kombinasi” tidak di lakukan karena telah terjadi pengurutan elemen – elemen pada sub-array

Quick sort melakukan proses langsung di dalam array masalah sehingga tidak memerlukan memory tambahan untuk menyimpan submasalah. Merge sort melakukan sebaliknya.

Tehnik quick sort sebagai berikut

· Mempartisi table sehingga diasumsikan pengurutan dari kiri ke kanan

· Elemen T[i] berada di tempat yang benar

· Tidak ada elemen yang lebih besar nilainya di kiri i

· Tidak ada elemen yang nilainya lebih kecil di kanan i

· Partisi tabel (secara implisit juga melakukan pengurutan tabel). Jika belum urut, partisi kembali partisi dari table (rekursif)

· Gabungkan semua partisi.

3. Implementasi Algoritma Divide and Conquer Sequential Sort

Algoritma pencarian secara linear adalah algoritma untuk mencari sebuah nilai pada table sambarang dengan cara melakukan pass atau transversal. Transversal dari awal sampai akhir table. Ada dua macam cara pencarian pada table. Algoritma mempunyai dua jenis metode yaitu dengan Boolean dan tanpa Boolean.

Sequential search Dikenal sebagai linear search Mencari key(info yang dicari) pada suatu data tak terurut hingga data di temukan atau data sudah mencapai akhir larik

Syarat menggunakan sekuential search adalah :

• Data tersimpan dalam keadaan terurut

• Pencarian secara ascending atau descending

• Alamat terakhir(P1) dari larik (P) adalah =  0<= P1 <= P-1

4. Implementasi Algoritma Divide and Conquer Counting sort

Adalah sebuah algoritma sorting linear yang digunakan untuk mengurutkan ‘item’ ketika urutannya telah ditentukan dan memiliki panjang yang terbatas. Bilangan interval yang telah tetap, katakana k1 ke k2 adalah contoh dari ‘item’ tersebut. Counting sort sebenarnya merupakan metode pengurutan yang memanfaatkan index variabel array. Hanya effektif pada data yang nilainya kecil.

Algoritma ini diproses dengan mendefinisikan sebuah hubungan urutan antara ‘item’ yang akan disorting. Katakana ‘item’ yang akan disorting adalah variable A. Maka, terdapat sebuah array tambahan dengan ukuran yang serupa dengan array A. katakana array tersebut adalah array B. untuk setiap element di A, sebut e, algoritma ini menyimpan jumlah ‘item’ di A lebih kecil dari atau sama dengan e di B(e). jika hasil sorting yang terakhir disimpan di array C, maka untuk masing-masing e di A, dibuat dalam arah yang sebaliknya, yaitu C[B(e)]=e. setelah step di atas, niali dari B(e) berkurang dengan 1.

Algoritma ini membuat 2 passover A dan passover B. Jika ukuran dari range k lebih kecil dari ukuran input n, maka time complexity = O(n). perhatikan juga bahwa algoritma ini stabil yang berarti bahwa sambungan diselesaikan dengan langsung mengabarkan element-element yang muncul pertama kali.

Adapun syarat algoritma ini berjalan dengan baik ialah:

Data harus bilangan bulat yang bernilai lebih besar atau sama dengan nol

Range data diketahui

Ada 3 macam array yang terlibat:

Array untuk mengisi bilangan yang belum diurutkan.

Array untuk mengisi frekuensi bilangan itu, sekaligus sebagai penghitung kejadian.

Array untuk mengisi bilangan yang sudah diurutkan.

5.   Implementasi Algoritma Divide and Conquer Selection Sort

Jika anda diminta untuk membuat algoritma sorting tersendiri, anda mungkin akan menemukan sebuah algoritma yang mirip dengan selection sort. Layaknya insertion sort, algoritma ini sangat rapat dan mudah untuk diimplementasikan. Mari kita kembali menelusuri bagaimana algoritma ini berfungsi terhadap satu paket kartu. Asumsikan bahwa kartu tersebut akan diurutkan secara ascending. Pada awalnya, kartu tersebut akan disusun secara linier pada sebuah meja dari kiri ke kanan, dan dari atas ke bawah. Pilih nilai kartu yang paling rendah, kemudian tukarkan posisi kartu ini dengan kartu yang terletak pada pojok kiri atas meja. Lalu cari kartu dengan nilai paling rendah diantara sisa kartu yang tersedia. Tukarkan kartu yang baru saja terpilih dengan kartu pada posisi kedua. Ulangi langkah – langkah tersebut hingga posisi kedua sebelum posisi terakhir dibandingkan dan dapat digeser dengan kartu yang bernilai lebih rendah.

Ide utama dari algoritma selection sort adalah memilih elemen dengan nilai paling rendah dan menukar elemen yang terpilih dengan elemen ke-i. Nilai dari i dimulai dari 1 ke n, dimana n adalah jumlah total elemen dikurangi 1.

6.   Implementasi Algoritma Divide and Conquer Insertion Sort

Salah satu algoritma sorting yang paling sederhana adalah insertion sort. Ide dari algoritma ini dapat dianalogikan seperti mengurutkan kartu. Penjelasan berikut ini menerangkan bagaimana algoritma insertion sort bekerja dalam pengurutan kartu. Anggaplah anda ingin mengurutkan satu set kartu dari kartu yang bernilai paling kecil hingga yang paling besar. Seluruh kartu diletakkan pada meja, sebutlah meja ini sebagai meja pertama, disusun dari kiri ke kanan dan atas ke bawah. Kemudian kita mempunyai meja yang lain, meja kedua, dimana kartu yang diurutkan akan diletakkan. Ambil kartu pertama yang terletak pada pojok kiri atas meja pertama dan letakkan pada meja kedua. Ambil kartu kedua dari meja pertama, bandingkan dengan kartu yang berada pada meja kedua, kemudian letakkan pada urutan yang sesuai setelah perbandingan. Proses tersebut akan berlangsung hingga seluruh kartu pada meja pertama telah diletakkan berurutan pada meja kedua. Algoritma insertion sort pada dasarnya memilah data yang akan diurutkan menjadi dua bagian, yang belum diurutkan (meja pertama) dan yang sudah diurutkan (meja kedua). Elemen pertama diambil dari bagian array yang belum diurutkan dan kemudian diletakkan sesuai posisinya pada bagian lain dari array yang telah diurutkan. Langkah ini dilakukan secara berulang hingga tidak ada lagi elemen yang tersisa pada bagian array yang belum diurutkan.

7.    Implementasi Algoritma Divide and Conquer Linier Searhing

Algoritma pencarian secara linear adalah algoritma untuk mencari sebuah nilai pada table sambarang dengan cara melakukan pass atau transversal. Transversal dari awal sampai akhir table. Ada dua macam cara pencarian pada table. Algoritma mempunyai dua jenis metode yaitu dengan Boolean dan tanpa Boolean.

8.   Implementasi Algoritma Divide and Conquer Binary Searching

Algoritma pencairan secara linear melakukan pengulangan sebanyak 1 kali untuk kasus terbaik (value sama dengan elemen pertama dalam tabel) dan Nmax kali untuk kasus terburuk. Sehingga algoritma ini mempunyai kompleksitas algoritma O(n).

Algoritma pencarian biner adalah algoritma untuk mencari sebuah nilai pada tabel teurut dengan cara menghilangkan setengah data pada setiap langkah. Algoritma ini mencari nilai yang dicari dengan tiga langkah yaitu :

• Mencari nilai tengah dari tabel (median).

• Melakukan perbandingan nilai tengah dengan nilai yang dicari untuk menentukan apakah nilai yang dicari ada pada sebelum atau setelah nilai tengah.

• Mencari setengah sisanya dengan cara yang sama.

Sejarah Definisi dan Cara Kerja Algoritma Divide and Conquer

 ALGORITMA DIVIDE AND CONQUER

 

Nama    : Rama Suherman
NPM      : 19312152
Kelas     : IF 20 B

Sejarah Definisi dan Cara Kerja Algoritma Divide and Conquer

A.Sejarah Algoritma Devide and Conquer.

    ditemukan oleh seorang ilmuwan Rusia bernama Anatolii Alexeevich Karatsuba pada tahun 1960. Pada mulanya, Anatoliimenemukan algoritma yang lebih cepat untuk mengalikan dua buah bilangan bulatyang besar dengan kompleksitas O(nlog 3).

B.  Devinisi Algoritma Devide and Conquer.

    Di dalam ilmu komputer, algoritme divide and conquer merupakan algoritme yang sangat populer. Prinsip dari algoritme ini adalah memecah-mecah masalah yang ada menjadi beberapa bagian kecil sehingga lebih mudah untuk diselesaikan.

C.Cara Kerja Algoritma Devide and Conquer.

    Contoh sederhana : Misalkan, untuk menghitung total jumlah dari bilangan-bilangan yang ada di dalam sebuah list, kita dapat menggunakan perulangan sederhana.

Algoritma perulangan yang digunakan pada kode di atas memang sederhana dan memberikan hasil yang benar, tetapi terdapat beberapa masalah pada kode tersebut, yaitu perhitungan dilakukan secara linear, yang menghasilkan kompleksitas O(n).

ada empat macam algoritma pengurutan yang berdasar pada algoritma Divide and Conquer antara lain:

1.     Selection sort.

2.     Quick sort.

3.     Insert sort.

4.     Merge sort.

Fungsi

PERTIDAKSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN KUADRAD, Dan PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1. PERTIDAKSAMAAN

-2x + 1 < 7 sama seperti sebelumnya kita akan mengilangkan bilangan

+1 di ruas kiri, dengan cara -1 pada ruas kiri dan kanan sehingga:

-2x + 1 < 7 => -2x + 1 -1 < 7 -1

Jadi -2x < 6

Agar variable x memiliki nilai koefisien 1 maka dibagi kedua ruas

dengan bilangan -2, maka akan menjadi:

= −2x/−2 < 6/−2

Karena disini membagi pertidaksamaan ini dengan bilangan negative (-) maka tanda akan berbalik menjadi (>)

Jadi =

−2x/−2 < 6/−2 = X ≻ −3

Jika pertidaksamaan dibagi atau dikali dengan bilangan negatif

Dan himpunan penyelesaian adalah (−3, ∞)

2. PERTIDAKSAMAAN KUADRAD

Pertidaksamaan kuadrat memiliki ciri pangkat tertinggi x adalah 2

x2 -3 x -4 < 0

Langkah pertama yaitu pastikan nilai pada ruas kanan adalah 0, lalu

lakukan faktorisasi terhadap bentuk kuadrat.

Jadi (x-4) (x+1) < 0

lalu cari titik pemecah, titik ini diperoleh dari setiap factor dibuat 0

yaitu

X-4 = 0  x+1 = 0

x = 4      x = -1

Cara menentukan daerah himpunan penyelesaian ialah menggunakan

uji titik. Uji ini dilakukan dengan menggunakan semua ruas dan

dilakukan subtitusi.

Yang pertama daerah sebelah kanan

X = 5 (5-4).(5+4) = 1.6 > 0 (bilangan positif)

Yang kedua daerah tengah

X = 0 (0-4).(0+1) = -4.1 < 0 (bilangan negatif)

Yang ketiga daerah sebelah kiri

X = -2 (-2-4).(-2+1) = (-6).(-1) >0 (bilangan positif)

Pada soal yang diminta adalah bilangan negative

3. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Nilai Mutlak dapat didefinikan sebagai :

|x| = x, x ≥ 0 - x, x < 0

Contoh : |5|= 5 (karena 5 lebih dari 0 maka memakai aturan pertama)

|-3| = -(-3) = 3 (karena 3 kurang dari 0 maka memakai

aturan kedua)

Secara geometris |x| adalah jarak dari x ke 0 pada garis real

Sifat Nilai Mutlak

Nilai mutlak mempunyai beberapa sifat yaitu:

1. |x| = √x2 ↔ 9 = √32 = |3|

2. |x| < a, a ≥ 0 ↔ -a<x<a sifat ini dapat berlaku juga jika |x| ≤ a, a ≥ 0 ↔ -a ≤ x ≤a

3. |x|> a, a ≥ 0 ↔ x >a atau x < -a

4. |x| ≤ |y| ↔ x2 ≤ y2

5. |a + b| ≤ |a| +|b|

6. |x| = |a|, a ≥ 0 ↔ x = ∓ a

7. |-a| = a

8. |ab| = |a|.|b|

9. |a/b| = |a/b|

Sebagai contoh terdapat soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari|2x -1| <3

Disini kita dapat menggunakan sifat nilai mutlak yang ke 2

Sistem Bilangan Real

1. Bilangan real 

adalah bilangan nyata yang sering kali digunakan dalam keseharian kita.

Bilangan Real dapat dinyatakan sebagai himpunan dimu;ai dari yang terkecil hingga tak hingga. Maka himpunan tersebut dapat kita simpulkan menjadi sebuah rumus.

N : bilangan asli

Z : Himpunan Bilangan bulat

Jika N mempunyai anggota yang banyak, maka dapat

dijadikan sebagai berikut:

N = {1,2,3,.....}

Sama seperti N, Z dapat dijadikan sebagai berikut:

Z = {-2,-1,0,1,2,.....}

2. Himpunan Bilangan Rasional

Penjelasan

Bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai Q. Bilangan rasional mempunyai sebuah rumus sebagai berikut :

Q : Bilangan Rasional

Maka,

Q : { X | X = a/b, a,b, ∈ Z.b ≠ 0}

Keterangan :

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan a/b, dengan syarat a dan b nya merupakan anggota bilangan bulat, sementara b tidak boleh = 0, karena jika b = 0 maka a/b tidak terdefinisi

3. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibagi, bilangan ini tidak bisa dinyatakan sebagai a/b. sebagai contoh ialah:

Blangan Irasional ∶ √2 ,√3, dan π dengan keterangan √2 bernilai mendekati 1,44.... , maka bilangan ini bukan dinyatakan bilangan rasional.

Maka dapat disimpulkan gabungan dari seluruh himpunan bilangan diatas yang bisa disebut bilangan

real atau dapat dinotasikan sebagai R. Jadi, R : Bilangan Irasional ∪ Q

Garis Bilangan Real

INTERVAL

A. Himpunan

1. X X < a} dimana X dinyatakan kurang dari a

2. X X ≤ a} X dinyatakan kurang dari sama

dengan a.

3. X a < x < b} X berada diantara a dan b

4. X a ≤ x ≤ b} X berada diantara a dan b

5. X a ≤ x < b} X berada diantara a dan b

6. X X > b} X bernilai lebih dari b.

7. X X ≥ b} X bernilai lebih dari sama dengan b.

8. X X ∈ R} dimana x merupakan anggota

bilangan real

B. Himpunan

C. Selang

1. (- ∞, a) karena a tidak termasuk anggota himpunan

2. (- ∞, a] karena a termasuk anggota himpunan

3. (a,b) a dan tidak termasuk anggota himpunan

4. [a,b] a dan b termasuk anggota himpunan

5. [a,b) a merupakan anggota himpunan dan b tidak

6. (b, ∞) b tidak termasuk anggota himpunan

7. [b,∞) b termasuk anggota himpunan

8. (−∞, ∞ ) seluruh bilangan bukan anggota himpunan

Contoh INTERVAL

Numerical Problem

Tugas Analisis Dan Strategi Algoritma 

Nama : Rama Suherman

Npm   : 19312152

Kelas  : IF 20B

Dosen Pengampu : Ajeng Savitri Puspaningrum, M.Kom

Numerical Problem

Analisis numerik adalah studi algoritma untuk memecahkan masalah dalam matematika kontinu yang dalam hal ini kemudian digunakan lah sebuah metode, yaitu metode numerik. Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis sehingga bisa dipecahkan dengan menggunakan operasi perhitungan. Sebelum adanya metode numerik ini digunakan beberapa metode untuk menyelesaikan masalah, yaitu:

Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan.

Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.

Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data.

Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Berikut merupakan beberapa solusi dan metode di dalam metode numerik:

Solusi Persamaan Non-Linier

Metode Biseksi

Metode Regula Falsi

Metode Sekan

Metode Iterasi Titik Tetap

Metode Newton – Raphson

Solusi Persamaan Linier Simultan

Metode Eliminasi Gauss.

Metode Gauss-Jordan.

Iterasi Gauss-Seidel.

kelebihan metode numerik yaitu : 

1. Selalu mendapatkan solusi persoalan dengan bantuan komputer, 

2. Perhitungannya cepat dan           

3. Hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya.

kekurangan metode numerik yaitu : 

1. nilai yang diperoleh hampiran dan bukan exact, tanpa bantuan alat hitung, perhitungan lama dan berulang-ulang.